楕円時計の設定

角度の取り方

本動画では，時計に合わせて角度 $\theta$ を12時の方向から時計回りに測る。

このとき，中心から角度 $\theta$ の方向に長さ $r$ だけ伸びた先端の座標は

$$x = r\sin\theta, \quad y = r\cos\theta$$

設定値

記号	意味	値
$a$	横の半径（3時・9時方向）	10 cm
$b$	縦の半径（12時・6時方向）	20 cm
$\omega$	角速度（長針，1時間で1周）	$6^{\circ}$/分

ストップウォッチの秒針は $\omega = 6^{\circ}$/秒（1分で1周）を使用。

針の長さ $r(\theta)$ の導出

楕円の方程式から導出

楕円の方程式 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ に $x = r\sin\theta$，$y = r\cos\theta$ を代入:

$$\frac{r^2\sin^2\theta}{a^2} + \frac{r^2\cos^2\theta}{b^2} = 1$$

$r$ について解くと

$$\boxed{r(\theta) = \frac{ab}{\sqrt{b^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta}}}$$

ここで分母の中身に名前をつけ，$D = b^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta$ と置くと $r = \dfrac{ab}{\sqrt{D}}$ と書ける。以降この $D$ を使う。

$a = 10,\ b = 20$ での値

位置	$\theta$	$r$
12時	$0^{\circ}$	$200/\sqrt{100} = 20$ cm（最長）
3時	$90^{\circ}$	$200/\sqrt{400} = 10$ cm（最短）

楕円の方程式: $\dfrac{x^2}{10^2} + \dfrac{y^2}{20^2} = 1$，すなわち $\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{400} = 1$。

先端の速さ $v(\theta)$ の導出

2つの速度成分

針が角速度 $\omega$ で回転しているとき，先端の速度は2つの直交成分に分解できる:

• 針に垂直な方向（回転成分）: $r\omega$
• 針の方向（伸縮成分）: $\dfrac{dr}{dt}$

連鎖律による伸縮速度

$r$ は $\theta$ の関数として求めたので，時間微分は連鎖律で:

$$\boxed{\frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt} = \frac{dr}{d\theta} \cdot \omega}$$

$\theta$ は単位時間あたり $\omega$ ずつ変わるので，$dr/d\theta$ に $\omega$ をかければ伸縮速度が得られる。

三平方の定理による合成

回転成分と伸縮成分は直角なので:

$$v = \sqrt{(r\omega)^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\omega\right)^2} = \omega\sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}$$

$dr/d\theta$ の計算

さきほどの $D = b^2\sin^2\theta + a^2\cos^2\theta$（$r=ab/\sqrt{D}$ の分母の中身）を $\theta$ で微分すると，

$$\frac{dD}{d\theta} = (b^2 - a^2)\sin 2\theta$$

これを使って $r = ab\,D^{-1/2}$ を微分すると，

$$\boxed{\frac{dr}{d\theta} = -\frac{ab(b^2 - a^2)\sin 2\theta}{2D^{3/2}}}$$

$a = 10, b = 20$: $b^2 - a^2 = 300$，$\dfrac{dr}{d\theta} = -\dfrac{30000\sin 2\theta}{D^{3/2}}$。

$\theta = 0^{\circ}, 90^{\circ}$（12時・3時）では $\sin 2\theta = 0$ → $dr/d\theta = 0$ → $v = r\omega$。

最速点は12時ではない

数値計算の結果:

$\theta$	位置	$r$ (cm)	$v/\omega$ (cm)	備考
$0^{\circ}$	12時	$20.0$	$20.0$	最速ではない
$\mathbf{15^{\circ}}$	12時の少し後	$18.3$	$\approx 21.5$	最速
$\mathbf{90^{\circ}}$	3時	$10.0$	$10.0$	最遅
$\mathbf{345^{\circ}}$	12時の少し前	$18.3$	$\approx 21.5$	最速

理由（手計算で確かめる）

12時ちょうどでは $dr/d\theta = 0$（伸縮が止まる瞬間）で，速さは $r\omega = b\omega$。一見ここが最速に見える。だが少しずらすと，$r$ はわずかに減る一方で，伸縮の速さ $dr/d\theta$ が0から立ち上がる。どちらが勝つかを，速さの2乗

$$g(\theta) = \left(\frac{v}{\omega}\right)^2 = r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2$$

を $\theta = 0$ のまわりで展開して調べる。$D \approx a^2 + (b^2-a^2)\theta^2$ から $r \approx b\left(1 - \dfrac{b^2-a^2}{2a^2}\theta^2\right)$，$\dfrac{dr}{d\theta} \approx -\dfrac{b(b^2-a^2)}{a^2}\theta$ となり，

$$g(\theta) \approx b^2 + \frac{b^2(b^2-a^2)(b^2-2a^2)}{a^4}\,\theta^2$$

$\theta^2$ の係数の符号は（$b>a$ なので）$b^2 - 2a^2$ で決まる：

• $b < \sqrt{2}\,a$：係数が負 → $\theta=0$ が速さの山。12時が最速。
• $b > \sqrt{2}\,a$：係数が正 → $\theta=0$ は谷。最速は12時の両どなりへずれる。

$a=10$ なら境目は $b = \sqrt{2}\cdot 10 \approx 14.1$ cm。楕円時計（$b=20$）はこれを超えるので，12時は最速ではない。投げたボールが頂点で一瞬遅くなるのと同じで，長い軸の先端（12時）は速さの谷になっている。

最速角度を求める

最速の角度は $g'(\theta)=0$ をきちんと解いて得られる。計算しやすいよう，ここでは3時の方向（x軸）から測った角度 $\varphi$ をとり，$u=\sin^2\varphi$ と置くと，極値条件は次の形にまとまる：

$$u = \sin^2\varphi = \frac{b^2(a^2 - 2b^2)}{2(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}$$

$a=10,\ b=20$ を入れると $u = \dfrac{14}{15} \approx 0.933$，すなわち $\varphi \approx 75^{\circ}$。これを12時から測り直すと $90^{\circ}-75^{\circ} = 15^{\circ}$。先ほどの数値計算の「12時の少し後 $15^{\circ}$」とぴったり一致する。

楕円の潰れ具合による変化

手計算でわかったとおり，最速点が12時からずれるのは $b > \sqrt{2}\,a$ のときだけ。$a=10$ を固定して $b$ を変えると：

縦半径 $b$	最速の位置	$v(12時)/\omega$	$v_{\max}/\omega$
$12$（$<14.1$）	12時	$12$	$12$
$14.1$（境目）	12時	$14.1$	$14.1$
$15$	12時のすぐ横	$15$	$15.0$（+0.2%）
$20$	12時の少し横	$20$	$21.5$（+7.6%）
$50$	12時の横	$50$	$102$（+104%）

円（$b=a=10$）に近いほど速さは一定に近づき，縦に長い楕円ほど12時とのずれが大きくなる。

楕円タイミングゲーム

楕円軌道上を一定角速度で動く対象に，特定位置でタイミングを合わせるゲームを考える。