積分（数学III）

一升瓶の積分

〜半分飲んだらどこまで減る？〜

このノートで考えること

一升瓶のお酒を，ちょうど半分（900ml）飲みました。残りの液面は，瓶の高さのどのあたりまで下がっているでしょうか。ちょうど真ん中？それとも——。

瓶の形を関数でモデル化して，回転体の体積を積分で求め，「半分の位置」を確かめます。

問題設定

一升瓶（1.8リットル）の形状を関数でモデル化し，回転体の体積を積分で計算する。目標は「半分（900ml）飲んだときの液面位置」を求めること。

一升瓶の形（お酒が入った状態） — 一升瓶。胴は太く，肩から首にかけて細くなる。この形を関数で表すところから始める。

形状のモデル化

半径関数の定義

一升瓶の形状を，Power Logistic Function を用いてモデル化する：

f(x) = a + b \cdot \sigma(x)^p, \quad \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{k(x - x_0)}}

ここで $x$ は瓶底からの距離（cm）， $f(x)$ は位置 $x$ における瓶の半径（cm）である。

この関数を選んだ理由は， $x$ が大きい時と小さい時の両方でほぼ定数関数となる性質があり，その中間をなめらかに変化する関数だからである。

パラメータ

実際の一升瓶に合わせて以下のパラメータを設定する。

パラメータ	意味	値
$R$	本体（胴）の半径	4.95 cm
$r_{\text{neck}}$	首の半径	1.05 cm
$a$	最小半径 $= r_{\text{neck}}$	1.05 cm
$b$	半径変化量 $= R - r_{\text{neck}}$	3.90 cm
$x_0$	遷移中心（肩の位置）	23.5 cm
$k$	シグモイドの傾き	0.5
$p$	べき乗パラメータ	0.5

具体的な関数形：

f(x) = 1.05 + 3.90 \left(\frac{1}{1 + e^{0.5(x - 23.5)}}\right)^{0.5}

形状のグラフ

半径関数 y=f(x) のグラフ。胴ではほぼ R で一定，肩で下がり，首でほぼ一定 — 半径 y = f(x)。胴（x が小さい側）ではほぼ R = 4.95 で一定，肩のあたりでなめらかに下がり，首では a = 1.05 に近づく。

体積の計算

回転体の体積公式

$x$ 軸周りの回転体の体積は，

V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx

一升瓶では，底から1cm（ $x=1$ ）から液面（ $x=30$ ）までを積分範囲とする。つまり，

V = \pi \int_1^{30} \left[1.05 + 3.90 \left(\frac{1}{1 + e^{0.5(x - 23.5)}}\right)^{0.5}\right]^2 dx

半径関数のグラフを x 軸まわりに回転してできる立体（瓶の形） — 半径のグラフを x 軸まわりに1回転させると，瓶の形の立体になる。断面は半径 f(x) の円なので，面積は π f(x)²。これを足し集めたものが体積。

置換積分による計算

$t = 1 + e^{0.5(x-23.5)}$ と置換すると， $dt = 0.5 e^{0.5(x-23.5)} dx = 0.5(t-1) dx$ より $dx = \dfrac{2}{t-1} dt$ 。また $\sigma(x) = \dfrac{1}{t}$ なので $\sigma(x)^{0.5} = t^{-0.5}$ 。被積分関数を展開すると，

[f(x)]^2 = \left(a + \frac{b}{\sqrt{t}}\right)^2 = a^2 + \frac{2ab}{\sqrt{t}} + \frac{b^2}{t}

したがって，

\begin{aligned} V &= \pi \int_1^{30} \left[a + b\left(\frac{1}{1+e^{0.5(x-23.5)}}\right)^{0.5}\right]^2 dx \qquad (a = 1.05,\ b = 3.90) \\[3mm] &= 2\pi \int_{t_0}^{t_1} \frac{1}{t-1}\left(a^2 + \frac{2ab}{\sqrt{t}} + \frac{b^2}{t}\right) dt \qquad (t = 1 + e^{0.5(x-23.5)}) \\[3mm] &= 2\pi \left[ a^2 \log(t-1) + 2ab \log\frac{\sqrt{t}-1}{\sqrt{t}+1} + b^2 \log\frac{t-1}{t} \right]_{t_0}^{t_1} \\[3mm] &= 2\pi \left[ (a^2+b^2) \log(t-1) + 2ab \log\frac{\sqrt{t}-1}{\sqrt{t}+1} - b^2 \log t \right]_{t_0}^{t_1} \end{aligned}

「分母をまとめて $t$ とおく」という置換がここでの要。下は，同じ発想で解ける易しめの例。

置換積分の例：分母の 1+e^x をまとめて t とおく — 置換のイメージ。分母の 1+eˣ をまとめて t とおくと，見通しよく積分できる（瓶の積分も同じ発想）。

積分範囲の変換：

$x = 1$ のとき： $t_0 = 1 + e^{0.5(1-23.5)} = 1 + e^{-11.25} \approx 1.000013$
$x = 30$ のとき： $t_1 = 1 + e^{0.5(30-23.5)} = 1 + e^{3.25} \approx 26.79$

以上より，

V \approx 2\pi \times 286.7 \approx 1802 \text{ cm}^3 \approx 1802 \text{ ml}

（一升 = 1800 ml にほぼ一致する。）

半分（900ml）の位置

問題設定

半分飲んだときの液面位置 $X$ を求める：

\pi \int_1^{X} [f(x)]^2 \, dx = 900 \text{ ml}

瓶を半分まで満たした立体。境目 X はどこか？ — 体積がちょうど半分になる位置 X はどこか。底の太い部分にたくさん入るので，高さの真ん中にはならない。

シミュレーター一升瓶を飲んでみる（体積と液面の高さ）

液面の高さ

体積を10等分する線を表示

スライダーで液面を上下させると，残りの量（ml・%）と液面の高さが連動します。「ちょうど半分」を押すと，液面は高さ約12.7cm——瓶の口（30cm）の真ん中（15cm）よりずっと下になることが分かります。「10等分の線」も表示できます。

数値計算と結果

この体積の式から $X$ を直接解くのは難しいので，数値的に $X$ を探索すると，

$X$ (cm)	$V$ (ml)
10	693
12	846
12.5	884
12.7	900
13	923
15	1079

よって $\boxed{X \approx 12.7 \text{ cm}}$ のときに半分となる。

ミニゲームちょうど5割で止めろ！

お酒がちょうど半分（900ml）になった瞬間に止めてね！

水面が上下に揺れています。スペースキー / タップでもOK。

水面が上下に揺れています。お酒がちょうど半分（900ml＝50%）になった瞬間に「止める」！止めると，ねらいの50%ライン（高さ約12.7cm）が答え合わせで表示されます。見た目の真ん中で止めると，だいぶ多め（or 少なめ）になるはず。

10等分の位置

同様の数値計算により，体積を10等分する位置を求めると，次のようになる。

割合	0%	10%	20%	30%	40%	50%	60%	70%	80%	90%	100%
$X$ (cm)	1.0	3.3	5.7	8.0	10.4	12.7	15.1	17.5	20.0	23.0	30.0

瓶を体積で10等分する線。下のほうは間隔が広く，上にいくほど間隔が狭い — 体積で10等分する線。等しい量ずつ区切っても，下（太い側）は間隔が広く，上（細い側）は狭い。「同じ量＝同じ高さ」ではない。