三角関数（数学II）

ビブラートの正体

〜sin波をさらに揺らすと〜

このノートで考えること

サインカーブ $y = A\sin(Bx + C) + D$ の， $A$ や $B$ を時間とともに揺らしてみたら，どんな音になるでしょうか。そして，それと同じことを電波でやると何が起きるでしょうか。

音はサインカーブ

声や楽器の音を波形で見ると，なめらかに上下するサインカーブになっている。

縦方向の大きさ = 振幅。大きいほど音が大きい。
繰り返し1つ分の横幅 = 周期。短いほど音が高い。
1秒間の繰り返し回数 = 周波数（単位 Hz）。周期の逆数。

体験音階の波形を見て，鳴らしてみる

直前に鳴らした音と並べて表示する

音を選ぶと波形が出ます

音の高さと周波数の対応は次のとおり（中央のドから1オクターブ）。

音	ド	レ	ミ	ファ	ソ	ラ	シ	ド
周波数 (Hz)	$261.6$	$293.7$	$329.6$	$349.2$	$392.0$	$440.0$	$493.9$	$523.3$

寄り道

1オクターブ上は，ぴったり2倍

表の左端のド $261.6$ Hz に対し，右端のドは $523.3$ Hz でちょうど2倍。オクターブとは周波数が2倍になる幅のこと。その間を12等分するのが平均律で，半音1つ上がるごとに周波数は $\sqrt[12]{2} \fallingdotseq 1.0595$ 倍される。12回かけると $(\sqrt[12]{2})^{12} = 2$ に戻る仕組みになっている。

もう少し詳しく

実際の楽器の音は，サイン波ではない

ピアノの「ド」の波形を見ると，きれいなサインカーブではなく少し尖った形をしている。これは基音（ $f_0$ ）に加えて，その整数倍の周波数（倍音）が混ざっているためである。中央のド（261.6 Hz）なら，2倍の 523.3 Hz は1オクターブ上のド，3倍の 784.9 Hz はさらにその上のソ。メインのドに，高いドやソがうっすら重なって鳴っている。

式で書くと次のようになる。

y(x) = \sum_{n=1}^{N} A_n \sin\bigl(2\pi n f_0 x + \phi_n\bigr)

$\phi_n$ は各倍音の位相（横方向のずれ）で，次の節で見る「つまみ $C$ 」が倍音ごとに付いたものにあたる。倍音どうしの位相のずれは波形の見た目を変えるが，耳はほとんど聞き分けられない。音色を決めるのは係数 $A_n$ の配分である。同じ「ド」でもピアノとバイオリンで違って聞こえるのはこのため。

4つのつまみ

サイン波は式で書くと

y = A\sin(Bx + C) + D

と表せる。4つの文字は，波の形を決める4つの「つまみ」にあたる。

つまみ	役割	波の形は
$A$	振幅（縦の大きさ）	変わる
$B$	周波数（横の細かさ）	変わる
$C$	左右のずれ（位相）	変わらない
$D$	上下のずれ	変わらない

シミュレーター4つのつまみを回す

A（振幅）1.0 B（周波数）1.0 C（左右のずれ）0.0 D（上下のずれ）0.0

もとの波（A=B=1, C=D=0）を薄く重ねる

もう少し詳しく

$C$ と $D$ が「形を変えない」とはどういうことか

$D$ を変えても波の上下の幅（振幅）も繰り返しの幅（周期）も変わらない。グラフ全体が上下に平行移動するだけである。音としては，空気の圧力の基準がずれるだけなので，人間の耳には何も変わらない。

$C$ も同じで，波の始まる位置（位相）がずれるだけ。ただし位相は「聞こえない」わけではない。2つの音を重ねたときには位相のずれが打ち消し合いを生む。ノイズキャンセリングは，外の音とちょうど逆位相（ $C$ を半周期ずらした波）をぶつけて音を消す技術である。

つまみを時間で動かしてみる

ここからが本題。「 $A$ や $B$ の数値を揺らしてみたら，どんな音になるだろう？」

振幅 $A$ を揺らす ── トレモロ

$A$ を一定ではなく，ゆっくり上下させてみる。

y(x) = \underbrace{\bigl(1 + m\sin 2\pi f_m x\bigr)}_{\text{揺れる振幅}} \sin 2\pi f_c x

波形の外形（包絡線）が波打ち，音量が周期的に大きくなったり小さくなったりする。これがトレモロである。

体験トレモロを聴く

揺れの速さ f_m 5.0 Hz 揺れの深さ m 0.7

もとの単音と，振幅を揺らした音を聴き比べます。揺れの速さ $f_m$ と揺れの深さ $m$ をつまみで変えられるので，どのくらいから「トレモロらしく」聞こえるかを探せます。

周波数 $B$ を揺らす ── ビブラート

今度は $B$ のほうを揺らす。波の山と山の間隔が伸び縮みして，音程が揺れて聞こえる。これがビブラートである。

体験ビブラートを聴く

揺れの速さ f_m 5.0 Hz 揺れ幅 Δf（Hz） 45

こちらも，もとの単音と聴き比べます。揺れ幅を大きくしていくと，歌手のビブラートから，サイレンのような音まで変わっていきます。波形の「詰まり具合」が場所によって変わる様子も同時に見えます。

もう少し詳しく

「周波数を揺らす」を式で書くには

ビブラートの波は， $\sin$ の中身に $\sin$ を足した形で書ける。

y(x) = A\sin\bigl(2\pi f_c x + \beta \sin 2\pi f_m x\bigr)

これがビブラートの式である。振幅のときのように文字を置き換えるのではなく（ $\sin(2\pi f(x)\, x)$ と書くと意図しない揺れ方をしてしまう）， $\sin$ の中身＝位相のほうに揺れを入れる。

本当に「周波数が揺れている」ことは，位相が進む速さで確かめられる。これを瞬時周波数という。 $y(x) = A\sin\phi(x)$ と書けるとき

f_{\mathrm{inst}}(x) := \frac{1}{2\pi}\frac{d\phi}{dx}

上の式では $\phi(x) = 2\pi f_c x + \beta \sin 2\pi f_m x$ なので

f_{\mathrm{inst}}(x) = f_c + \beta f_m \cos 2\pi f_m x

となり，周波数はたしかに中心 $f_c$ のまわりを $\pm \beta f_m$ の幅で揺れている。

AMラジオとFMラジオ

ラジオの AM と FM は

\text{AM} = \text{Amplitude Modulation} = \text{振幅変調} \qquad \text{FM} = \text{Frequency Modulation} = \text{周波数変調}

の略である。

ラジオは，音声をそのまま電波にして飛ばすわけではない。音声を，高周波の波 $\sin\omega t$ （搬送波）に乗せて運ぶ。AM と FM の違いは，この乗せ方にある。式で見ると，音声 $m(t)$ を

\text{AM}: \quad y = \bigl(1 + m(t)\bigr)\sin\omega t

\text{FM}: \quad y = \sin\bigl(\omega t + m(t)\bigr)

のどちらに入れるか，という違いになる。つまりトレモロとビブラートを電波でやったものが AM と FM である。AM は外形が音の形，FM は詰まり具合が音の形になる。

シミュレーター声をAMとFMに乗せて聴き比べる

「サンプル音声」か「録音」で声を用意してください。

声の大きさの起伏

① 声を乗せ換えて聴く

AM｜振幅に乗せる

声の大きさがブザーの音量になる

FM｜周波数に乗せる

声の大きさがブザーの音程になる

同じ声なのに，AM は音量が，FM は音程が動きます。波形も，AM は外形が声の形に，FM は詰まり具合が声の形になっています。
※実際の電波は，人間の耳には聞こえないくらい高い周波数の波に乗っています。ここでは聴けるように，低い周波数に落として鳴らしています。

② 嵐（雑音）の中で聴き比べる

今度は声そのものを高周波の搬送波に乗せ，途中で雑音を加えてから，受信機で元の声に復元します。

雑音の強さ 0.40

AM で送って復元

FM で送って復元

雑音を強くしていくと，AM は雑音が振幅（＝声の情報）に残るので，復元した声がガサガサに崩れます。FM は受信機が振幅方向の変動を捨てるので，声が粘ります。

録音した自分の声（またはサンプル）を，可聴ブザーに乗せ換えて鳴らします。同じ声でも AM は音量が，FM は音程が 声の起伏どおりに動きます。さらに雑音を足すと，AM はガサガサに崩れ，FM は粘る様子が聴き取れます。

寄り道

AMは kHz，FMは MHz

日本の AM ラジオは 531〜1602 kHz（中波），FM ラジオは 76.1〜94.9 MHz（超短波）の電波を使っている。ラジオの周波数表示が AM だけ kHz なのはこのため。たとえば NHK AM（東京）は 594 kHz，TOKYO FM は 80.0 MHz——FM の搬送波は AM の 100 倍以上速く揺れている。

ちなみに，乗せ方と周波数帯は本来別の話で，組み合わせは自由である。実際，飛行機の無線は FM 放送より高い周波数帯で AM を使っている。FM 放送が高い周波数帯にいるのは，周波数を大きく揺らすぶん 1 局あたり広い幅（約 200 kHz）が要り，中波帯（全体で約 1 MHz）では数局しか入らないからである。

もう少し詳しく

なぜ，音をそのまま飛ばさないのか

(1) アンテナが長くなりすぎる。 電波を効率よく出すには，アンテナの長さが波長 $\lambda$ と同程度（実用上は $\lambda/4$ 程度）必要になる。波長とは電波が 1 回振動する間に進む距離のことで，電波の速さ $c$ （光の速さと同じ）を周波数 $f$ で割って求まる。

\lambda = \frac{c}{f}, \qquad c = 3.0\times 10^{8}\,\mathrm{m/s}

なので，人の声の中心 $f = 1\,\mathrm{kHz}$ をそのまま電波にすると

\lambda = \frac{3.0\times 10^{8}}{1.0\times 10^{3}} = 300\,\mathrm{km}

$\lambda/4$ でも $75$ km のアンテナが要る。一方 AM ラジオの $1$ MHz なら $\lambda = 300$ m，FM の $80$ MHz なら $\lambda \fallingdotseq 3.75$ m で， $\lambda/4$ は 1 m 弱。手に持てるサイズになる。

(2) 全員の声が重なってしまう。 音をそのまま飛ばすと，どの局も同じ周波数帯を使うことになり，受信側で分けられない。局ごとに違う高さの電波に乗せておけば，周波数の違いで選び分けられる。これが選局（チューニング）である。

そして現代の通信へ

AM は振幅に，FM は周波数（位相）に音を乗せた。スマホや Wi-Fi など現代の通信は，両方に同時に乗せる。AM のつまみと FM のつまみを，一度に両方回すのである。

ここで扱う波は，音声そのものではなく，データを運ぶための電波である。送る電波は振幅 $A$ と位相 $\varphi$ の 2 つで決まり， $y = A\cos(\omega t + \varphi)$ と書ける。これを加法定理で開くと

y(t) = A\cos(\omega t + \varphi) = \underbrace{A\cos\varphi}_{I}\,\cos\omega t - \underbrace{A\sin\varphi}_{Q}\,\sin\omega t = I\cos\omega t - Q\sin\omega t

となる。周波数 $\omega$ は固定したまま，90°ずれた 2 本の波 $\cos\omega t$ と $\sin\omega t$ に，それぞれ振幅 $I$ と $Q$ を与えて足した形である。つまり，振幅と位相の組 $(A, \varphi)$ を決めることは，数のペア $(I, Q)$ ——平面上の 1 点——を決めることと同じ。波を 1 つ選ぶことは，平面の点を 1 つ選ぶことにあたる。

なお，周波数 $\omega$ は選択の対象ではなく，通信のあいだ固定されている。 $\omega$ が決めるのは，どの周波数帯（チャンネル）を使うかである。ラジオの選局と同じ役割で，Wi-Fi なら 2.4 GHz 帯や 5 GHz 帯がこれにあたる。情報を運ぶのは $I$ と $Q$ のほうである。

もう一つ，ラジオと現代の通信では乗せるものが違う。ラジオが乗せた声は，なめらかに変わり続ける量（アナログ）だった。現代の通信が送るのは写真やメッセージなどのデータ，つまり 0 と 1 の列（デジタル）である。0/1 を伝えるだけなら，波を連続的に揺らす必要はない。決まった波を使い分ければ足りる。

そこで，振幅と位相の組合せを変えた波をあらかじめ有限個用意しておき，一定時間ごとに 1 つずつ選んで送る。どの波がどの 0/1 に対応するかは，送り手と受け手で先に取り決めておく。たとえば 4 種類なら——大きい振幅でそのままの位相の波なら「00」，大きい振幅で反転した位相なら「01」，小さい振幅でそのままなら「10」，小さい振幅で反転なら「11」。受信側は届いた波がどれかを見分けて，取り決めどおりに 0/1 へ戻す。1 回の選択で 4 通り＝2 ビット，16 種類なら 4 ビットが伝わる。この方式を QAM（Quadrature Amplitude Modulation，直交振幅変調）という——90°ずれた 2 本の搬送波それぞれに振幅を乗せる，という名前である。Wi-Fi 6 と呼ばれる規格では 1024 種類の波が使われる。それぞれの波に 10 桁の 0/1（0000000000〜1111111111 の $2^{10} = 1024$ 通り）が割り当てられているので，波が 1 つ届くたびに「1011101110」のような 10 桁ぶん＝10 ビットが読み取れる。

トレモロとビブラートから始まった「つまみを揺らす」話は，いまもスマホの中で絶え間なく続いている。

音はサインカーブ

1オクターブ上は，ぴったり2倍

実際の楽器の音は，サイン波ではない

4つのつまみ

CCC と DDD が「形を変えない」とはどういうことか

つまみを時間で動かしてみる

振幅 AAA を揺らす ── トレモロ

周波数 BBB を揺らす ── ビブラート

「周波数を揺らす」を式で書くには

AMラジオとFMラジオ

AMは kHz，FMは MHz

なぜ，音をそのまま飛ばさないのか

そして現代の通信へ

$C$ と $D$ が「形を変えない」とはどういうことか

振幅 $A$ を揺らす ── トレモロ

周波数 $B$ を揺らす ── ビブラート